Schwarzschildradius

Was ist der Schwarzschildradius?

Der Schwarzschildradius ist die Grenze, ab der ein Objekt so dicht zusammengepresst ist, dass nichts mehr entkommt, nicht einmal Licht. Erreicht eine Masse diese Größe, kollabiert sie zu einem Schwarzen Loch. Der Radius markiert dessen Ereignishorizont, die Fläche ohne Wiederkehr.

Anschaulich gesprochen ist es der Punkt, an dem die nötige Fluchtgeschwindigkeit auf Lichtgeschwindigkeit steigt. Da nichts schneller als das Licht sein kann, gibt es von innerhalb dieser Grenze kein Zurück. Der Begriff stammt aus der Physik Schwarzer Löcher und ist deren wichtigste Maßzahl: Er sagt, wie groß ein Schwarzes Loch einer bestimmten Masse ist.

Wie berechnet man den Schwarzschildradius?

Die Formel lautet r_s = 2GM/c². Dabei ist G die Gravitationskonstante (6,67430 × 10⁻¹¹), M die Masse des Objekts in Kilogramm und c die Lichtgeschwindigkeit (299.792.458 Meter pro Sekunde). Das Ergebnis ist ein Radius in Metern.

Ein durchgerechnetes Beispiel für die Sonne (Masse rund 1,989 × 10³⁰ kg): Man multipliziert 2 mal G mal M und teilt durch c im Quadrat. Das ergibt etwa 2.953 Meter, also rund 2,95 Kilometer. Genauso für die Erde (5,972 × 10²⁴ kg): Das Ergebnis sind etwa 8,87 Millimeter.

Weil 2G/c² eine feste Zahl ist, gibt es eine bequeme Merkregel: Der Schwarzschildradius beträgt etwa 2,95 Kilometer pro Sonnenmasse. Für ein Schwarzes Loch von zehn Sonnenmassen sind das rund 30 Kilometer. Den Rechner oben kannst du mit eigenen Werten ausprobieren.

Schwarzschildradius von Erde, Sonne und Sagittarius A*

Die Sonne müsste man auf 2,95 Kilometer Radius komprimieren, die Erde auf 8,87 Millimeter, eine Murmel. Ein Mensch von 70 Kilogramm käme auf etwa 10⁻²⁵ Meter, kleiner als ein Atomkern. Solche Objekte werden natürlich nie so stark verdichtet, deshalb sind Sonne und Erde keine Schwarzen Löcher.

Bei echten Schwarzen Löchern wird der Radius gewaltig. Sagittarius A*, das supermassereiche Schwarze Loch im Zentrum der Milchstraße mit etwa 4,3 Millionen Sonnenmassen, hat einen Schwarzschildradius von rund 12,7 Millionen Kilometern, etwa 0,08 Astronomische Einheiten. M87*, das erste je fotografierte Schwarze Loch mit rund 6,5 Milliarden Sonnenmassen, übertrifft mit seinem Radius sogar unser Sonnensystem.

Was passiert am Schwarzschildradius?

Am Schwarzschildradius erreicht die Fluchtgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit. Das ist der Ereignishorizont, der Punkt ohne Wiederkehr. Beim nicht rotierenden Schwarzen Loch liegen Schwarzschildradius und Ereignishorizont an derselben Stelle. Der Schwarzschildradius ist dabei die geometrische Größe aus der Formel, der Ereignishorizont die physikalische Grenze.

Für einen entfernten Beobachter geschieht etwas Seltsames: Ein hineinfallendes Objekt scheint durch die Zeitdehnung immer langsamer zu werden und am Horizont einzufrieren, sein Licht wird zunehmend rotverschoben, bis es verschwindet. Innerhalb des Radius vertauschen Raum und Zeit ihre Rollen, die Singularität im Zentrum liegt dann unausweichlich in der Zukunft jedes Objekts.

Warum hängt der Schwarzschildradius nur von der Masse ab?

In der Formel r_s = 2GM/c² stehen außer der Masse nur Naturkonstanten. Der Schwarzschildradius hängt also allein von der Masse ab und wächst linear mit ihr: Doppelte Masse bedeutet doppelter Radius.

Daraus folgt etwas Überraschendes. Da das Volumen mit der dritten Potenz des Radius wächst, die Masse aber nur linear, sinkt die mittlere Dichte eines Schwarzen Lochs mit zunehmender Masse. Ein supermassereiches Schwarzes Loch von einigen Milliarden Sonnenmassen hätte, gemittelt über sein Volumen innerhalb des Ereignishorizonts, eine Dichte geringer als die von Wasser. Die zerstörerische Wirkung steckt nicht in der Dichte, sondern in den Gezeitenkräften nahe der Singularität.

Schwarzschildradius, Photonensphäre und ISCO

Der Schwarzschildradius ist nicht die einzige wichtige Grenze um ein Schwarzes Loch. Beim 1,5-fachen Schwarzschildradius liegt die Photonensphäre. Dort ist die Gravitation so stark, dass Licht das Loch auf einer Kreisbahn umlaufen kann, allerdings instabil.

Beim 3-fachen Schwarzschildradius liegt die innerste stabile Kreisbahn, kurz ISCO (innermost stable circular orbit). Innerhalb davon gibt es keine stabilen Umlaufbahnen mehr, Materie stürzt zwangsläufig nach innen. Die ISCO bildet deshalb den inneren Rand der Akkretionsscheibe, aus der ein aktives Schwarzes Loch seine Strahlung bezieht. Das Diagramm oben zeigt diese drei Zonen im Verhältnis.

Wer war Karl Schwarzschild?

Karl Schwarzschild (1873 bis 1916) war ein deutscher Physiker und Astronom. 1916 fand er als Erster eine exakte Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie, nur wenige Monate nach deren Veröffentlichung. Seine Lösung beschreibt das Gravitationsfeld außerhalb einer kugelsymmetrischen, nicht rotierenden Masse.

Bemerkenswert sind die Umstände: Schwarzschild verfasste die Arbeit während seines Kriegsdienstes an der Ostfront im Ersten Weltkrieg. Er schickte sie an Einstein, der sie der Preußischen Akademie vorlegte und überrascht war, dass sich das Problem so einfach exakt lösen ließ. An der Front erkrankte Schwarzschild schwer und starb 1916. Den Begriff Schwarzschildradius und das Verständnis als Ereignishorizont prägte erst die spätere Forschung.

Der Schwarzschildradius in der Science-Fiction: Gargantua

Die bekannteste Darstellung eines Ereignishorizonts im Kino ist Gargantua aus dem Film 'Interstellar' (2014). Das Schwarze Loch wurde unter Mitarbeit des Physikers und späteren Nobelpreisträgers Kip Thorne gestaltet. Thorne setzte für Gargantua rund 100 Millionen Sonnenmassen an und eine Rotation extrem nahe am Maximum. Die zugrundeliegenden Berechnungen erschienen 2015 in einer begutachteten Fachzeitschrift, was Gargantua zu einer der wissenschaftlich genauesten Schwarzes-Loch-Darstellungen des Kinos macht.

Die fast maximale Rotation war dramaturgisch nötig: Nur so wird die starke Zeitdehnung auf dem nahen Wasserplaneten plausibel, wo eine Stunde Jahrzehnten auf der Erde entspricht. Dieser Effekt hängt direkt mit der Nähe zum Ereignishorizont zusammen. Schon früher nutzte die harte SF das Motiv, etwa Larry Niven in der Kurzgeschichte 'Neutron Star', in der die Gezeitenkräfte nahe einem extrem kompakten Objekt zur tödlichen Falle werden.